十二平均律的理性推导

　　首先说一个问题，本人在详细思考了律制之后，从数学逻辑上推导十二平均律。现将其过程分享给大家，希望对大家有所帮助。

　　一、共振与频率首先我们先解释一个问题，为什么有的时候你会感觉到两个同时发出的声音更和谐。肯定有人会说，因为共振呗！其实里面的物理原理没这么简单。先说一个最简单的例子，可能很多人都听过：当年称霸整个欧洲的拿破仑率领他的军队通过一座小桥。军队喊着“121”的号子齐步走上小桥。突然，桥塌了，n多士兵掉到了河里。不信你看现在军训之后，一旦通过什么天桥之类的地方，教官肯定让大家便步走。这就是因为拿破仑的前车之鉴。这里的问题在于齐步走的频率和桥的固有频率发生了共振。其实，物体本身是有一个固定的频率的，它按照这个固定的频率一直在震动，不过通常情况下，人是不会觉察出来的。那么我们看看如果外加一个震动会出现什么情况。

 

 

这个图就非常明白地告诉了我们会发生什么现象。 红色的是y=sin(x)，蓝色的是y=sin(2x)，假设两者的振幅是一样的。虽然两者的频率差了1倍，但是共同作用的结果是震动的幅度几乎翻了一翻。学过三角函数的朋友们应该知道这个道理，两者的频率如果是倍频关系，就是一个频率是另一个的整数倍数，叠加的结果就会使震动幅度增加的越多。如果不是整数倍，那么效果就会差很多。我们假设红色的是桥的震动，而蓝色的是人的震动。有一个人在桥上走的情况，就是上面的图。如果桥上同时走两个人会怎么样呢？（注意！我下面指的是齐步走）

此主题相关图片如下：
 

 

 

　　

黑线是只有一个人的情况，蓝线是两个人，红线是十个人。这个情况可非常恐怖了。振幅随着人数的增加迅速增长。大家注意，桥的固有频率的振幅其实不是很高，就算桥的频率没有和人行进的频率产生倍频的关系，但毕竟人多力量大，叠加的结果其实也差不多，不信大家自己吧y=sin(x)随便改成一个三角函数，做出来的图跟上面的那个没什么区别。士兵们在行进的过程中传达给桥的能量是和振幅正相关的。那么桥上的人越多给出的能量就越大，一旦这个能量超出了桥的承受范围，哼哼！那就有好戏看了。 这里同时也说明了一个问题，音乐中的共振关系，倍频的时候总是让人感到更和谐，更亢奋，就是因为振幅的叠加造成的。二、十二平均律的设计关于十二平均律，我们还是不要管是哪位前辈发现或者发明的了。首先一个问题，既然国际的标准是A=440Hz，那么我们不妨用A做例子说说这个问题。从一个A到下一个听着非常爽非常和谐的位置一定是A的倍频，而A的倍频里面最和谐的一定是A的2倍频和2半频——880Hz和220Hz。在十二平均律里面把这个定为一个八度。八度的概念一会再说。为什么要设计十二平均律呢，其实就是为了转调方便。大家知道自然音阶是由7个音组成的，我们暂且使用它们的音名CDEFGAB。然而要想自由转调可不是很容易，因为这7个音之间的间隔是不一样的。好比1,2,4，和2相比1是一半；和4相比2是一半。如果拿2当1的话，1:2:4=2:4:8。正好谁都用上了。相反，如果是1,2,3，和2相比1是一半；和3相比2可不是一半，如果拿2当1的话，1:2:3=2:4:6，这样3就用不上了。我们知道自然音阶之间是全全半全全全半的关系，如果半音作为一个单位的话，这之间刚刚好是12个单位。相反，如果我们用D当做dou的话，还要保证自然音阶的相对关系，那么就不可能像上面的例子里的1,2,4一样，继续往后延伸所有的数字都能用得上。这样在D大调的时候就不可能用到所有C大调的音。经过循环计算，还是得分成12份。这样说来所有的音之间的关系都确定了，我们假设相邻的音之间的频率比是k。注意，音和音之间的差别不是频率差而是频率比！这个可以参考上面的共振原理。我们假设从一个C开始的比例关系是：

　　这里面的k就是十二平均律的比例关系。那么下一个话题也是非常容易的了。三、度的概念引入度的概念是在自然音阶中，把一个音到另一个音之间的音程叫度。自己到自己是一度，到第二个音叫二度，后面以此类推，到下一个本音叫八度。然而，其中的二度、三度等等一直到七度都不太一样，例如二度就有全音和半音之分。这样，我们从公式来看如下：k的0次方：纯一度，自己到自己k的1次方：小二度，半音k的2次方：大二度，全音k的3次方：小三度，一全音 一半音k的4次方：大三度，二全音k的5次方：纯四度，二全音 一半音k的6次方：增四度，三全音；或减五度，二全音 二半音k的7次方：纯五度，三全音 一半音——注意大约等于1.4983，非常接近1.5k的8次方：小六度，三全音 二半音k的9次方：大六度，四全音 一半音 k的10次方：小七度，四全音 二半音k的11次方：大气度，五全音 一半音k的12次方：纯八度这里度数的转化也很好理解，比如纯四度翻上去是纯五度，其实总共翻了一个八度，就是k的12次方。那么假如说一个是k的n次方，那么另一个对应的一定是k的12-n次方。这样里面的转换就很方便了。四、升降号可能有的朋友会说，五线谱里面的升降号记起来太麻烦了。是什么调的也非常难记。 其实有个简单的方法。先说升号：升号里面绝大部分是某调，比如A调、B调，绝对不会出现降某调，只有一个是升F调。看谱最前面的升号，最右边的一个升号的音往上找半个音，就是这个音的调。比如：一个升号，#F，往上走一个半音就是G，那么一个升号就是G调。两个升号，右边的是#C，往上走一个半音就是D，那么一个升号就是D调。三个升号，右边的是#G，往上走一个半音就是A，那么一个升号就是A调。四个升号，右边的是#D，往上走一个半音就是D，那么一个升号就是E调。五个升号，右边的是#A，往上走一个半音就是B，那么一个升号就是B调。六个升号，右边的是#E，往上走一个半音就是#F，那么一个升号就是#F调。降号：降号里面绝大部分是降某调，比如bB调，bE调，只有一个是正常调——F调。看谱前面的降号，右数第二个就是相应的调。一个降号，bB，是F调两个降号，bB和bE，上一个是bB，所以是bB调三个降号，bB和bE和bA，上一个是bE，所以是bE调四个降号，bB和bE和bA和bD，上一个是bA，所以是bA调五个降号，bB和bE和bA和bD和bG，上一个是bD，所以是bD调六个降号，bB和bE和bA和bD和bG和bC，上一个是bG，所以是bG调到这里十二平均律的相关数学关系都推导完了，希望对大家有所帮助。 (责任编辑：乐器资源网)